Các nghịch lý chưa có lời giải đáp

Các nghịch lý đều rất thú vị, và đóng góp một vai trò quan trọng trong toán học. Chúng cho thấy rõ tầm quan trọng của việc phát biểu và chứng minh các ý tưởng một cách cẩn thận, không có sơ hở, và chúng cũng cho thấy việc tổng quát hóa các khái niệm có thể trở nên nguy hiểm đến mức nào. Có những nghịch lý không có lời giải hàng ngàn năm nay nhưng có những nghịch lý 1 học sinh tiểu học cũng có thể dễ dàng giải. Bài viết tổng hợp những nghịch lý thú vị mà nhân loại đã tạo ra.

1. Nghịch lý Zeno : Achilles và con rùa
2. Nghịch lý “Phân đôi”
3. Nghịch lý “Mũi tên bay”
4. Nghịch lý của Epimenides (kẻ nói dối)
5. Nghịch lý Olbers
6. Nghịch lý ông nội
7. Nghịch lý “Ngày hành quyết bất ngờ”
8. Nghịch lý bootstrap 
9. Nghịch lý tiền định
10. Nghịch lý về hạt cát và đống cát
11. Nghịch lý con cá sấu
12. Nghịch lý Đấng toàn năng
13. Nghịch lý của Russell - Người thợ cạo thành Seville
14. Nghịch lý con tàu của Theseus: Bạn là ai?
15. Nghịch lý " Con quạ đen"
16. Nghịch lý Abilene : Khi chúng ta buộc phải làm những điều mình không muốn
17. Nghịch lý sinh đôi
18. Một số cách lý giải hiện đại

1. NGHỊCH LÝ ZENO: CÂU CHUYỆN CỦA ACHILLES VÀ CON RÙA

Trong một cuộc chạy đua, người chạy nhanh nhất không bao giờ có thể bắt kịp được kẻ chậm nhất. Kể từ khi xuất phát, người đuổi theo trước hết phải đến được điểm mà kẻ bị đuổi bắt đầu chạy. Do đó, kẻ chạy chậm hơn luôn dẫn đầu - Aristotle

Zeno xứ Elea là một nhà toán học, nhà triết học người Hy Lạp sống ở thế kỉ V TCN. Ông là khoa học lớn đến từ thành phố Elea, hiện nay nằm ở miền nam nước Ý. Những nghịch lý của ông, xét từ góc độ toán học, có giá trị to lớn trong việc thúc đẩy sự ra đời của khái niệm giới hạn, là nền tảng để con người tiến tới vô hạn. Những lập luận của Zeno cũng được xem là một trong những ví dụ đầu tiên của phương pháp phản chứng (trong tiếng Hy Lạp bấy giờ là reductio ad absurdum).

Chúng ta sẽ cùng lần lượt xem xét qua ba nghịch lý của Zeno, hay còn được gọi là “Nghịch lý về sự chuyển động”, dùng để biện luận cho tư tưởng triết học của Zeno: ông cho rằng mọi sự chuyển động không tồn tại vì đó chỉ là ảo giác mà thôi.

Trong nghịch lý, trường hợp đưa ra là Achilles đang chạy đua với một con rùa. Anh ấy chấp con rùa 100 mét, tuy nhiên anh lại có vận tốc nhanh gấp 10 lần con rùa. Cho rằng vận tốc của cả Achilles và rùa đều không đổi, ta có thể thấy sau một khoảng thời gian hữu hạn, khi Achilles đã chạy được 100 mét, tức là điểm xuất phát của con rùa, thì con rùa cũng đã chạy được 10 mét. Và lại sau một khoảng thời gian nữa, khi Achilles đã chạy được 10 mét thì con rùa cũng đã nhích thêm được 1 mét. Như vậy, bất cứ khi nào Achilles đến một vị trí mà con rùa đã đến, thì con rùa lại cách đó một đoạn. Bởi vì số lượng các điểm Achilles phải đến được mà con rùa đã đi qua là vô hạn, do đó anh ta không bao giờ có thể bắt kịp được con rùa.

Một bài toán nổi tiếng khác, tương tự như câu chuyện của Achilles và con rùa, cũng đã được phát biểu trong nhiều kỳ thi về toán học và vật lý:

An đang đứng trên đỉnh đồi, cách chân đồi 60 mét cùng với một con chó. Đầu tiên, An vừa đi bộ xuống và cùng lúc đó thả cho chú chó chạy xuống dốc với vận tốc bằng gấp 5 lần vận tốc của mình đi bộ. Chú chó sẽ chạ

y xuống chân đồi, rồi lại chạy lên đến chỗ của An và ngay lập tức quay đầu lại, chạy xuống dưới chân đồi, rồi tiếp tục lặp lại chuyển động đó. Hỏi khi An đến chân đồi, chú chó đã chạy được bao nhiêu mét?

Có thể thấy, tại một thời điểm bất kì khi An và chú chó gặp nhau, chú chó sẽ quay đầu lại và chạy hướng về phía chân đồi. Vì vận tốc của chó luôn nhanh hơn An nên khi chó đến chân đồi, An sẽ vẫn còn đang ở tại một điểm trên dốc. Lúc đó, chú chó sẽ lập tức quay đầu lại, và vì vận tốc của chú chó là một số dương, nên An và chó sẽ tiếp tục gặp lại nhau tại một điểm trên dốc. Lập luận như vậy, ta có thể thấy dù An và chú chó có gặp nhau bao nhiêu lần đi nữa thì An cũng sẽ không bao giờ có thể đi đến chân đồi.

Giải đáp nghịch lý : Chúng ta đều biết trong thực tế, Achilles sẽ chắc chắn đuổi kịp và vượt qua chú rùa.Một em bé lớp 5 cũng có thể giải được nghịch lý Zeno đưa ra. Thực tế, vận tốc của Achilles lớn hơn do đó sau một quãng thời gian nhất định, Achilles sẽ vượt xa chú rùa chứ chưa cần nói tới việc đuổi kịp.

2. Nghịch lý về sự phân đôi: bạn thậm chí còn không thể bắt đầu di chuyển

Một chuyển động phải đến được vị trí nửa quãng đường trước khi đến được đích. - Aristotle

Giả sử nhà thơ Hy Lạp cổ đại Homer đang muốn đi từ nhà đến công viên có độ dài quãng đường là S. Khi đó, để đến được đích, ông phải đi qua trung điểm khoảng cách giữa nhà và công viên, tức là đi được quãng đường S/2. Mà trước khi ông đến được trung điểm ấy, thì ông phải đến được điểm S/4 khoảng cách. Mà trước khi đến được điểm S/4 ấy ông phải đến được điểm S/8. Trước điểm S/8 là S/16, và cứ thế. Trình tự kết quả có thể được biểu diễn bằng tập hợp sau:

{...;1/16;1/8;1/4;1/2;1}

Để mô tả chuyển động này cần phải thực hiện vô hạn các bước, mà Zeno xác nhận rằng điều đó là bất khả thi. Ông cho rằng, để thực hiện quãng đường bao gồm vô hạn các quãng đường nhỏ hơn, ta cũng phải cần vô hạn các khoảng thời gian hữu hạn, và vì vậy sẽ không bao giờ đi đến đích.

Trình tự này cũng đưa ra một vấn đề thứ 2, đó là thậm chí còn không có quãng đường đầu tiên để di chuyển, vì bất kỳ quãng đường đầu tiên (hữu hạn) khả dĩ nào thì đều có thể được chia thành một nửa, và vì thế không thể là quãng đường đầu tiên được. Do đó, sự di chuyển thậm chí không thể bắt đầu. Kết luận của nghịch lý này là sự chuyển động từ điểm này đến điểm khác cách nhau 1 khoảng cách hữu hạn không thể hoàn thành được và cũng không thể bắt đầu được, do đó, mọi chuyển động phải là một ảo giác.

Nghịch lí của Zeno, trong hình học, có thể được phát biểu như sau: nếu coi một điểm trong mặt phẳng là không có chiều dài (tức chiều dài bằng 0), thì cộng thêm một điểm vào nữa chúng vẫn sẽ không có chiều dài. Vì vậy, người ta sẽ không bao giờ nhận được một đoạn thẳng, hay một quãng đường, chỉ bằng cách hợp các điểm lại với nhau. Ngược lại, nếu cho rằng một điểm có chiều dài, thì một đoạn thẳng sẽ dài vô hạn, do nó chứa vô hạn điểm trong đó.

Giải đáp : Aristotle (384 – 322 TCN) đã phá giải  nghịch lý này. Theo đó, ông nhận xét rằng vì khoảng cách giảm dần nên thời gian cần thiết để thực hiện di chuyển những khoảng cách đó cũng giảm dần. Vì thế mà tới một lúc nào đó, thời gian giảm đến 0 và Zeno sẽ tới được công viên.

3. Nghịch lý mũi tên bay: bạn thậm chí còn không thể di chuyển

Nếu tất cả mọi thứ đều chiếm 1 khoảng không gian khi nó đứng yên, và nếu khi nó chuyển động thì nó cũng chiếm một khoảng không gian như thế tại bất cứ thời điểm nào, do đó mũi tên đang bay là bất động. - Aristotle

 Trong khi hai nghịch lý đầu tiên được mô tả trong không gian, nghịch lý này liên hệ đến thời gian và xem một khoảng thời gian được chia ra thành vô số thời điểm. Zeno lý luận rằng tại một thời điểm, mũi tên đang bay không thể dịch chuyển đến một vùng không gian khác mà nó không chiếm giữ (bởi vì thời gian không trôi để nó di chuyển đến đó), và cũng không thể dịch chuyển đến vị trí nó đang chiếm giữ, vì nó vốn đang ở đó rồi. Như vậy, mũi tên sẽ bất động tại bất kì thời điểm nào, và vì thời gian bao gồm vô số thời điểm, mũi tên bay sẽ luôn luôn bất động [?].

Giải đáp : Người giải được nghịch lý này là triết gia người Ý – Thomas Aquinas. Ông đã phản đối việc Zeno ngộ nhận rằng, thời gian bao gồm các khoảnh khắc, các điểm riêng biệt.

Mặt khác, trong không gian, xen giữa hai điểm cố định có vô hạn các điểm xen giữa. Do đó, việc hiểu chuyển động là sự chuyển tiếp vật từ điểm này tới điểm khác như trong nghịch lý là hoàn toàn vô căn cứ.

4. Nghịch lý của Epimenides (kẻ nói dối)

Triết gia Epimenides là một triết gia ủng hộ ý kiến thần Zeus là bất tử. Ý kiến này trái ngược với niềm tin của cư dân đảo Crete, một hòn đảo thịnh vượng nằm trong nền văn minh Hy Lạp cổ đại. Thế là Epimenides đã tuyên bố rằng: “Tất cả những người dân đảo Crete là kẻ nói dối.”

Tuy nhiên vì Epimenides cũng là một người dân đảo Crete, ông đã vô tình thừa nhận rằng, chính mình cũng là kẻ nói dối. Mà khi Epimenides đã nói dối, những người dân đảo Crete đều là những người nói thật. Với điều kiện mới này, lời nói của Epimenides lại được coi là sự thật bởi ông là người đảo Crete. 

Kết quả, ta lại suy ra từ lời khẳng định của triết gia rằng toàn bộ người dân hòn đảo là nói dối. Một vòng lặp logic nữa lại bắt đầu và không có điểm kết thúc. 

Nghịch lý Epimenides là một trong rất nhiều ví dụ của “nghịch lý nói dối”. Bạn sẽ trả lời như thế nào nếu một người hỏi: “Tôi đang nói dối, đúng hay sai?” Nếu bạn kết luận anh ta nói đúng, thì người đó đã nói đúng sự thật rằng anh ta nói dối, tức là anh ta đã nói dối. Còn nếu bạn nói anh ta nói dối, như vậy mệnh đề “tôi đang nói dối” của người đó là dối trá, tức là anh ta đã nói thật. Dù bạn trả lời như thế nào thì câu trả lời vẫn luôn mâu thuẫn với hệ quả logic của nó. 

Tiếp đến là một câu truyện khác được tạo ra bởi người thợ mộc già Mister Geppetto trong một ngôi làng nhỏ của Ý, chú rối gỗ Pinocchio mơ ước trở thành một cậu bé bằng xương bằng thịt. Cậu thường hay nói dối và bịa đặt ra những câu chuyện vì nhiều lý do khác nhau, mỗi khi cậu bé nói dối, mũi cậu sẽ dài ra. Vậy trong trường hợp này, khi cậu nói “Mũi của tôi sẽ dài ra”, nếu mũi dài ra nghĩa là cậu bé đã nói thật như vậy mũi sẽ không dài ra. Nếu mũi không dài ra, nghĩa là Pinocchio nói dối, như vậy mũi lại dài ra.

5. Nghịch lý Olbers

Nghịch lý Olbers được giới thiên văn học biết đến như một bằng chứng khẳng định cho thuyết Big Bang, tức vũ trụ phải bắt đầu từ vụ nổ lớn và như vậy phải có một độ tuổi xác định. 

Từ bất cứ điểm nhìn nào, tầm mắt của chúng ta sẽ gặp một ngôi sao hoặc thiên hà?

Giả sử thuyết Big Bang là sai và vũ trụ đã không có điểm khởi đầu và kết thúc. Như vậy, nếu chúng ta phóng tầm mắt của mình về bất cứ hướng nào trên bầu trời đêm, ta sẽ đều phải nhìn thấy một ngôi sao hoặc thiên hà. 

Nếu vũ trụ đã luôn tồn tại, ánh sáng của những ngôi sao dù xa xôi đến mấy đều sẽ tìm được đến chúng ta và hệ quả là bầu trời đêm sẽ phải sáng như ban ngày. Thế nhưng bầu trời đêm là tối đã phủ nhận giả thuyết này. 

Giải đáp : Vũ trụ chúng ta đang sống đang giãn nở ra rất nhanh. Các thiên hà và các ngôi sao của chúng ra đời sau thời kì lạm phát (thời kì vũ trụ gia tăng kích thước với tốc độ cực kì cao sau Big Bang). Khi các ngôi sao ra đời, chúng đã ở cách rất xa nhau và đang di chuyển ra khỏi nhau với vận tốc ngày càng tăng, điều đó làm bước sóng ánh sáng của chúng khi quan sát từ Trái Đất (hay từ bất cứ hành tinh, thiên hà nào khác) bị kéo dài ra do sóng ánh sáng mất năng lượng. Kết quả là khi chúng ta quan sát thấy các ngôi sao chỉ thấy chúng hết sức mờ nhạt, các thiên hà quá xa thì không thể quan sát vì bước sóng ánh sáng quá dài không cho phép mắt thường nhận thấy nữa.

6. Nghịch lý ông nội

Nghịch lý ông nội được nhà văn viết truyện khoa học viễn tưởng người Pháp - René Barjavel mô tả lần đầu vào năm 1943. Giả sử có một người đàn ông quyết định quay trở về quá khứ và giết chết ông nội của anh ta lúc ông chưa kết hôn và sinh đứa con nào. Hệ quả là đứa cháu sẽ không thể nào được sinh ra để mà quay ngược thời gian đi giết ông nội. Vậy ai là người đã giết ông nội? Nếu ta xác định được người đó tức là ông nội sẽ chết và sẽ không có người đó, vậy ai là người giết ông nội?

Nghịch lý ông nội được được một số nhà khoa học cho rằng, đây là bằng chứng phủ nhận việc du hành xuyên thời gian về quá khứ để thay đổi. Không chỉ xuất hiện trong nhiều tác phẩm khoa học viễn tưởng, nghịch lý ông nội còn là một tranh cãi vẫn chưa có hồi kết trong ngành vật lý thiên văn. 

Giải đáp : Để giải quyết nghịch lý này người ta phải dựa vào giả thuyết các vũ trụ song song (Parallel universes), giả thuyết này liên quan mật thiết tới mô hình đa vũ trụ (multiverse)

Khi áp dụng mô hình vũ trụ song song hay đa vũ trụ (còn gọi là đa lịch sử) vào để giải quyết nghịch lý nêu trên, người ta cho rằng vũ trụ có nhiều lịch sử mà mỗi thời điểm chúng ta chỉ tồn tại trong một lịch sử, mỗi hành động hàng ngày mà bạn chọn đều dẫn bạn đi vào lịch sử tương ứng với lựa chọn đó nhưng trong khi đó không phải là lựa chọn còn lại không xảy ra, thực tế vẫn có một lịch sử bạn lựa chọn khác và tương lai của bạn sẽ là khác. Khi nhà du hành thời gian quay về quá khứ và giết chết ông nội của mình, anh ta mở ra một lịch sử mới. Tại lịch sử mới này người ông của anh ta bị giết bởi một kẻ lạ mặt, lưu ý rằng kẻ này không phải cháu nội của ông ta vì ông ta đã chết trước cả khi có con, kẻ này chỉ là cháu nội của người ông không bị giết tại một lịch sử khác. Mỗi lần có những lựa chọn như thế, lịch sử vũ trụ lại bị phân nhánh, nếu như lấy Big Bang là gốc của lịch sử và thời gian thì đến nay lịch sử của nó đã phân nhánh như một rễ cây khổng lồ với số lượng lịch sử lên tới hàng tỷ tỷ với lũy thừa hàng tỷ nữa. Để tránh gây “hoang mang” về số lượng lịch sử thì người ta thường mặc định lịch sử chúng ta đang sống, nơi tôi gõ những dòng này còn các bạn đang đọc bài của tôi là lịch sử chính và các lịch sử phân nhánh là các lịch sử phụ (Alternate history) với những mốc sự kiện phụ (Alternate timeline). Để dễ hình dùng hơn, bạn có thể nhìn mô tả trong hình sau, bạn sẽ thấy rõ hai lịch sử chạy song song, tại lịch sử người ông bị giết thì nhà du hành thời gian không hề ra đời, nhưng không mâu thuẫn với việc có một kẻ xuất hiện giết chết ông của anh ta, vì anh ta là người đến từ lịch sử khác.

Nghịch lý nêu trên là một ví dụ nhỏ và khá dễ hiểu về tính đa lịch sử trong du hành thời gian, nếu như bạn cho thêm vào câu chuyện thêm nhiều dữ kiện hơn, bạn sẽ thấy được sự rắc rối thật sự của nó với số lịch sử sẽ không còn là 2, 3 mà có thể lên tới hàng chục hay hàng trăm lịch sử phụ nếu như phức tạp hóa một số điểm. Tuy nhiên đến nay những điều nêu trên vẫn còn nằm dưới dạng lý thuyết và mô hình, chúng ta hi vọng tương lai sẽ sớm cho chúng ta lời giải khi có sự ra đời của những con tàu vượt thời gian thật sự.

7. Nghịch lý "Ngày hành quyết bất ngờ"

Truyện kể rằng: Tại một phiên tòa, thẩm phán ra phán quyết đối với người tử tù rằng anh ta sẽ bị treo cổ vào giữa trưa một ngày thường (tức là từ thứ Hai đến thứ Sáu) trong tuần sau. Ngày hành quyết sẽ là một bất ngờ đối với người tử tù và anh ta chỉ có thể biết được khi cai ngục đến gõ cửa buồng ngay trước giờ ra pháp trường. 

Sau khi ngẫm nghĩ về bản án, người tù tự kết luận rằng anh ta sẽ thoát chết. Lý luận của anh ta đưa ra như sau: Theo như bản án, ngày hành quyết sẽ hoàn toàn “bất ngờ” đối với anh ta. Như vậy anh ta sẽ không thể bị treo cổ vào ngày thứ 6 (ngày cuối cùng có thể hành quyết trong thời hạn 5 ngày) vì như vậy không bất ngờ chút nào. Tương tự, anh không thể bị treo cổ vào ngày thứ 5 (ngày cuối cùng trong thời hạn hành quyết 4 ngày – vì ngày thứ 6 không treo cổ được rồi nên 5-1 =4).  Cứ như vậy anh tiếp tục cách suy luận này và áp dụng cho các ngày còn lại trong tuần, và kết luận rằng mình chắc chắn sẽ không thể bị hành quyết. Anh ta liền vui vẻ quay trở về buồng ngục của mình hoàn toàn yên tâm đánh một giấc ngon lành. Vài ngày sau, cai ngục đến gõ cửa buồng anh ta vào trưa ngày thứ Tư, và anh ta bị lôi ra pháp trường. Như vậy, suy luận của người tử tù này sai ở đâu?

Giải đáp : Trường phái lí luận học có đưa ra một tuyên bố mà tôi cảm thấy cũng khá thỏa đáng. Đó là “self-contradictory” – sự tự mâu thuẫn. Hãy tưởng tượng như thế này nhé: Có một trò chơi bài đơn giản với năm lá bài được đặt sấp trên bàn. Chúng sẽ lần lượt được lật lên và nhiệm vụ của bạn là đoán xem liệu lá bài tiếp theo có phải là quân jack không. Người chia bài nói với bạn 02 điều:

01. Có đúng một quân jack trong năm lá bài.

02. Bạn sẽ không bao giờ có thể chắc chắn được liệu quân bài tiếp theo có phải là quân jack hay không.

Bạn nhanh chóng nhận ra rằng cũng giống như trong trường hợp của người tử tù, nếu như có bốn lá bài đã lật lên mà vẫn chưa thấy quân jack. Thì chỉ còn lại một lựa chọn – một quân bài cuối cùng, và bạn sẽ biết chắc chắn 100% đó là quân jack. Như vậy sẽ có một hoặc hai điều xảy ra:

Hoặc là quân cuối cùng là quân jack, như vậy tức vế sau mà người chia bài đã nói là xạo. Hoặc quân cuối cùng không phải là quân jack, tức vế trước mà người chia bài nói là xạo. Và bởi vì cả hai vế không thể nào cùng một lúc đúng được. Cho nên ta có thể nói rằng con mèo của Shrödinger đã bóc toàn bộ lí luận của người chia bài ra và biến nó trở thành một lí luận tự mâu thuẫn (self-contradictory). Và bởi vì bản thân lí luận gốc đã tự mâu thuẫn, cho nên bất cứ suy luận nào suy diễn từ nó đều không có giá trị. Bản thân người chia bài không hẳn là đã nói dối, những bởi vì một trong hai điều họ nói với bạn chỉ trở thành xạo nếu như bạn rút đến quân bài thứ tư mà vẫn chưa thấy quân jack đâu. Người chia bài tạo ra một nghịch lí chỉ xảy ra nếu như bạn rút đến quân bài cuối cùng, cho đến lúc đó thì nghịch lí vẫn chưa xảy ra và cả hai điều họ nói vẫn còn đúng. Tôi (tạm) gọi đây là “nghịch lí cơ hội tự mâu thuẫn”: một nghịch lí chỉ trở nên tự mâu thuẫn khi có một điều kiện khác xảy ra.

Thử nghĩ xem, đây mới chỉ là 05 lá bài. Nếu như có 100 lá thì sao? Bạn biết rằng nếu như bạn lật hết 99 lá bài mà vẫn thấy quân jack đâu, thì bạn có thể chứng mình người chia bài đã nói xạo. Nhưng điều đó có dễ không, khi mà người chia bài có nhiều cơ hội hơn gấp 99 lần bạn để chơi xỏ bạn. Quay trở lại với người tử tù, vấn đề cũng hoàn toàn tương tự. Anh ta suy luận dựa trên một “nghịch lí cơ hội tự mâu thuẫn” và đã hết sức bất ngờ khi kết luận của mình sai

Giải thích dễ hiểu hơn:

Bởi vì người tử tù tin mình sẽ ko bị hành quyết nên đã yên tâm đánh một giấc ngon lành, vì vậy việc hành quyết trở thành 1 bất ngờ đối với anh ta.

8. Nghịch lý bootstrap 

Đây là 1 nghịch lý về du hành thời gian, giống như nghịch lý ông nội. Khi một sự vật, 1 thông tin ở tương lai được gửi về quá khứ, nó ảnh hưởng đến sự tồn tại của thông tin hay sự vật đó ở hiện tại. Có rất nhiều bộ film đã khai thác chi tiết này, ví dụ dễ hiểu nhất là  trong bộ phim Back to the Future, Marty McFly quay về quá khứ năm 1955, chơi bài hát “Johnny B. Goode” của Chuck Berry. Chuck Berry nghe được và phát hành chính bài hát này ba năm sau đó. Vậy ai mới là người sáng tác ra bài hát này?

9. Nghịch lý tiền định

Đây cũng là 1 nghịch lý về việc du hành thời gian, liên quan chặt chẽ đến nghịch lý bootstrap. Để hình dung khái quát về Nghịch lý tiền định, bạn hãy tưởng tượng rằng thời gian dược trải dài trên 1 sợi dây có độ dài "vô hạn" và bất kỳ hành động nào làm uốn cong sợi dây đó sẽ tạo ra những vòng tròn lặp lại hay những biến đổi nhất định.

Nó được minh họa trong bộ film Futurama, trong đó, Fry trở lại quá khứ, anh được cảnh báo không làm điều gì ngu ngốc (giả dụ như giết ông nội Enos  mình chẳng hạn). Fry đã gặp ông nội mình và vô tình  Enos  vẫn chết. Fry vẫn sống, do vậy anh tự nhủ Enos  không phải ông nội mình. Fry gặp để an ủi vợ chưa cưới của Enos (bà nội của Fry), hai người nảy sinh tình cảm & có con với nhau. Như vậy, Fry vừa là cháu, vừa là ông nội của chính bản thân mình. Toàn bộ sự tồn tại của Fry của hiện tại dựa vào việc trong tương lai, Fry sẽ quay về quá khứ và ngủ với bà  của mình. Đây là 1 vòng nhân quả luẩn quẩn bởi Fry không thể tồn tại nếu không thực hiện việc này trong quá khứ. Nếu như vậy con của bà nội Fry là  bố của Fry hay con trai của Fry ?

10. Nghịch lý về hạt cát và đống cát

Nghịch lý này xoay quanh 1 lập luận đơn giản, đó là hàng triệu hạt cát tụ lại sẽ thành 1 đống cát, và đống cát vẫn là đống cát nếu bạn bỏ đi 1 hạt cát duy nhất. Như vậy nếu liên tục nhặt ra khỏi đống cát 1 hạt cát thì đống cát sẽ ngày càng nhỏ, đến 1 lúc nào đó, nó sẽ nhỏ đến mức không còn là đống cát được nữa. Nói rộng hơn thế giới hữu hình (đống cát) của chúng ta được tạo nên từ tổng số những hạt vô hình (hạt cát). Một hạt vô hình không tạo thành một vật thể hữu hình, hai hạt, ba hạt,… vô hình cũng vậy. Tuy nhiên, đến một mức độ nào đó, tập hợp những hạt vô hình lại đủ lớn để tạo thành một vật thể hữu hình (một lượng hạt cát đủ lớn thì tạo thành đống cát), nhưng không xác định được cái “ranh giới” ấy là thế nào.  Một nghịch lý tương tự nhưng theo hướng ngược lại. Luôn có thể lấy một phần nhỏ (một hạt) từ một vật thể sao cho nó vẫn còn là một vật thể hữu hình. Tuy nhiên, lặp đi lặp lại quá trình này, đến 1 lúc nào đấy, vật thể hữu hình đó lại trở thành vô hình.

11. Nghịch lý con cá sấu

Một con cá sấu vồ được một em bé đang chơi bên bờ sông Nil. Mẹ em bé van xin cá sấu tha cho con bà ta. Cá sấu ra vẻ độ lượng: Được thôi, nếu bà đoán đúng ta đang muốn làm gì về đứa con của bà thì ta sẽ trả nó cho bà. Nếu đoán sai, ta sẽ không tha đứa bé. Bà mẹ giận quá liền la lên: “Ngươi sẽ ăn thịt con ta.”
Thế là con cá sấu không biết làm thế nào: Ăn thì hoá ra bà mẹ đoán đúng, mà như vậy thì phải trả đứa bé lại cho bà mẹ. Nhưng nếu trả lại đứa bé thì hoá ra bà mẹ đoán sai. Vậy thì được ăn. Nhưng nếu ăn thì…

12.Nghịch lý Đấng toàn năng (Omnipotence Paradox)

Nếu có một Đấng toàn năng thì liệu người đó có thể tạo ra một tảng đá mà không ai có thể nhấc nổi, kể cả chính ông ta!

Vấn đề đặt ra khá đơn giản đúng không nào nhưng ở đây lại xảy ra một sự mâu thuẫn, đó là:

1. Nếu ông ta là đấng toàn năng thì ông ta sẽ dễ dàng tạo ra một tảng đá như thế (một hòn đã không ai, kể cả chính ông ta có thể nhấc lên).

2. Nhưng cũng chính nhờ sự toàn năng ấy mà chắc chắn ông ta cũng nhấc được hòn đá ấy (nếu không thì không còn là đấng... toàn năng nữa) đúng không nào?

Như vậy Đấng toàn năng là người có thể làm mọi điều kể cả ngăn chặn chính quyền năng của mình nhưng khi ông ta ngăn chặn quyền năng của chính mình thì ông ta đã bị hạn chế và không còn toàn năng nữa!

Còn nếu ông ta cũng không ngăn chặn được chính quyền năng của mình thì ông ta cũng không phải là người quyền năng.

Như vậy, khi ông ta làm một điều gì đó thì ông ta có ngăn chặn được việc đó hay không thì cũng đều mâu thuẫn, đây chính là nghịch lý khiến không ít các nhà Toán học và Triết học bận tậm.

Vấn đề đặt ra khá đơn giản đúng không nào nhưng ở đây lại xảy ra một sự mâu thuẫn, đó là:

1. Nếu ông ta là đấng toàn năng thì ông ta sẽ dễ dàng tạo ra một tảng đá như thế (một hòn đã không ai, kể cả chính ông ta có thể nhấc lên).

2. Nhưng cũng chính nhờ sự toàn năng ấy mà chắc chắn ông ta cũng nhấc được hòn đá ấy (nếu không thì không còn là đấng... toàn năng nữa) đúng không nào?

Như vậy Đấng toàn năng là người có thể làm mọi điều kể cả ngăn chặn chính quyền năng của mình nhưng khi ông ta ngăn chặn quyền năng của chính mình thì ông ta đã bị hạn chế và không còn toàn năng nữa!

Còn nếu ông ta cũng không ngăn chặn được chính quyền năng của mình thì ông ta cũng không phải là người quyền năng.

Như vậy, khi ông ta làm một điều gì đó thì ông ta có ngăn chặn được việc đó hay không thì cũng đều mâu thuẫn, đây chính là nghịch lý khiến không ít các nhà Toán học và Triết học bận tậm.

13. Nghịch lý của Russell - Người thợ cạo thành Seville

Đây là 1 phiên bản ít trừu tượng nhất của nghịch lý này. Chuyện kể rằng trong 1 thị trấn chỉ có 1 người đàn ông làm nghề thợ cắt tóc. Tất cả những người đàn ông trong thị trấn để giữ cho mình “mày râu nhẵn nhụi” thì hoặc là tự cạo râu cho mình, hoặc nhờ ông thợ cắt tóc nọ. Bác thợ cạo này đã tuyên bố “Tôi và chỉ tôi cắt tóc cho tất cả những ai ở thành Seville này không tự cắt tóc được.” Câu hỏi đặt ra: Ai cắt tóc cho bác thợ cạo này? Nếu người này tự cắt tóc cho mình hoá ra bác ta đã làm trái lời mình đã tuyên bố “chỉ cắt cho những ai không tự cắt tóc được”. Nhưng không thể có chuyện người khác cắt tóc cho bác ta vì người này đã tuyên bố “tôi và chỉ tôi mới cắt tóc cho những ai không tự cắt tóc được”.

14. Nghịch lý con tàu của Theseus: Bạn là ai?

Nghịch lý con tàu của Theseus là một nghịch lý đặt câu hỏi về danh tính của một vật thể.

Danh tính của bạn là gì? Đó có phải là tên của bạn? Cách mà bạn nhìn? Cách bạn nói chuyện hay cử chỉ tay đặc biệt của bạn? Ngoài tên, khuôn mặt và ngoại hình của chúng ta còn cho biết danh tính của chúng ta. Một chiếc mũi có hình dáng thú vị hay mái tóc bù xù, hoang dã cũng có thể trở thành đặc điểm nhận dạng của một người. Trên thế giới này có rất nhiều người nổi tiếng chỉ vì vẻ ngoài của họ. Theo các nhà khoa học, cơ thể con người thay thế 330 tỷ tế bào mỗi ngày. Điều này có nghĩa là cứ mỗi phút trôi qua, cơ thể bạn lại có 229.166.667 tế bào mới. Với tốc độ này, trong 100 ngày, bạn gần như hoàn toàn mới!

Vậy bạn có phải là con người của một trăm ngày trước không?

Nếu câu trả lời của bạn cho tất cả hoặc hầu hết các câu hỏi trên là 'có' thì chúng ta buộc phải hỏi… tại sao? Tại sao họ vẫn là cùng một người? Chúng ta sử dụng tên và khuôn mặt để nhận dạng mọi người, vì vậy khi tên hoặc khuôn mặt của họ thay đổi thì họ cũng thay đổi? Bạn có thể không đồng ý và nói rằng khuôn mặt và tên của họ có thể đã thay đổi, nhưng tính cách của họ thì không. Tế bào của tôi có thể mới toanh, nhưng tôi vẫn hành động, suy nghĩ và cảm nhận như cũ. 

Theo đó, câu hỏi "Tôi/nó là gì?" chính là trung tâm của nghịch lý con tàu của Theseus.

Con tàu của Theseus 

Theseus là con trai của vua Aegeus. Nhà vua đã thua trong trận chiến với vua Minos và mắc nợ ông ta một món nợ lớn. Sau đó, vua Aegeus đã cử một đoàn gồm 7 chàng trai và 7 cô gái đi khám phá mê cung chứa Minotaur, một con thú hung dữ. 

Và Theseus đã tình nguyện đi với tư cách là một trong 7 chàng trai. Họ phải đi thuyền đến Crete. Vua Aegeus đã vô cùng đau buồn khi nghĩ đến việc con trai mình có thể sẽ phải hy sinh, nhưng Theseus trấn an ông rằng nếu anh sống sót trở về, con tàu sẽ mang những cánh buồm trắng. Nếu anh ta chết, cánh buồm vẫn sẽ mang màu đen.

Tuy nhiên, sau khi khám phá mê cung trở về, dù sống sót nhưng Theseus đã quên thay đổi màu sắc của cánh buồm. Nhà vua lúc đó đã lao mình từ vách đá xuống khi nhìn thấy con tàu có cánh buồm đen. 

Con tàu có cái tên nổi tiếng là "Con tàu của Theseus "và được cất giữ trong một bảo tàng ở Athens như một lời nhắc nhở về lòng dũng cảm và trí thông minh của Theseus cũng như bi kịch của vua Aegeus.

Nghịch lý 

Plutarch là một trong những triết gia đầu tiên đưa ra nghịch lý này. Nếu con tàu bắt đầu mục nát, các bộ phận sẽ cần được thay thế. Nếu tất cả các bộ phận ban đầu của con tàu cuối cùng được thay thế hết, thì liệu nó có còn là con tàu mà Theseus dùng để đi đến mê cung không? Nếu mỗi bộ phận của một vật thể được thay thế theo thời gian thì khi nào vật thể đó không còn là bản chất ban đầu của nó nữa?

Câu hỏi này đã được sửa đổi thêm bởi nhà triết học người Anh Thomas Hobbes. Nếu các bộ phận ban đầu của con tàu sau đó được tập hợp lại và lắp ráp lại để trông giống hệt con tàu ban đầu thì con tàu nào sẽ được coi là con tàu nguyên bản của Theseus?

Có lẽ chúng ta cần xem xét điều này bằng cách sử dụng lý thuyết bắc cầu. Lý thuyết cho rằng nếu A=B và B=C thì A=C. Trong trường hợp này, A là con tàu ban đầu mà Theseus dùng để đi đến mê cung, B là con tàu được sửa chữa lại theo thời gian và C là con tàu được lắp ráp lại. Vì vậy, tất cả các con tàu đều có một danh tính duy nhất. Tuy nhiên, điều này không có ý nghĩa gì vì hai con tàu—một chiếc được sửa chữa lại theo thời gian và một chiếc được lắp ráp lại—là khác nhau.

Theo Aristotle, các yếu tố tạo nên một sự vật là hình thức của nó, chất liệu làm nên nó và mục đích của nó. Do đó, con tàu ban đầu sẽ vẫn giữ nguyên bản chất ban đầu của nó, vì hình dạng của nó không thay đổi, bất kể nó được chế tạo bằng vật liệu gì.

Tuy nhiên, tuyên bố này đã được nhiều triết gia tranh luận kỹ lưỡng.

Và theo đó, cho tới tân bây giờ, nghịch lý này vẫn không có câu trả lời rõ ràng.

15. Nghịch lý con quạ đen

Hay còn gọi là "Nghịch lý Hempel", đặt theo tên người chứng minh ra nó là nhà triết học Carl Hempel.

Ý tưởng của Hempel là khi các sự kiện trùng hợp diễn ra quá nhiều lần, độ tin cậy của lý thuyết sẽ trở nên tăng lên. Để lấy ví dụ, ông đưa ra một mệnh đề: "Toàn bộ quạ trên đời đều màu đen."

Bỏ qua việc thực tế có cả quạ trắng, nhưng vì số lượng của chúng rất hiếm, bạn có thể kiểm tra hàng triệu con quạ vẫn thấy chúng có màu đen, và rồi sẽ tin rằng nhận định trên là đúng. Rồi khi nhìn vào một quả táo, vì nó không có màu đen nên cũng không phải quạ, và nhờ vậy nhận định "quạ màu đen" cũng được củng cố mạnh mẽ hơn.

16. Nghịch lý Abilene: Khi chúng ta buộc phải làm những điều mình không muốn

Đây là một nghịch lý dạng xã hội, do giáo sư Jerry B. Harvey đưa ra, với ví dụ là một gia đình gồm 2 vợ chồng và bố mẹ vợ chuẩn bị đi dã ngoại.

Ông bố vợ đề xuất làm một chuyến đi tới Abilene - một thị trấn nằm cách nơi ở của họ khoảng 80 cây số. Người vợ (con gái ông) không hứng thú lắm vì cho rằng đó là một ngày nóng bức, nhưng cô không nói ra mà chỉ tỏ ý đồng tính. Dẫu vậy, trong thâm tâm, cô đã nghĩ không ai hưởng ứng với chuyện ở nhà. Còn người chồng (con rể) thì mặc định rằng mẹ vợ muốn đi. Và thế là họ quyết định lên đường.

Đúng như người vợ dự đoán, chuyến đi thực sự là một thảm họa. Quãng đường quá dài, thời tiết quá nóng, đồ ăn trong quán cafe dừng chân thì dở tệ, nên họ quyết định quay về sau khi đi được vài giờ.

Trên đường quay lại, người vợ nhận xét một cách khá... châm biếm, rằng ý tưởng đến Abilene có vẻ không ổn lắm. Người chồng đáp lại, anh chỉ đồng ý vì nghĩ mẹ vợ muốn đi, trong khi bà chưa nhận xét bất kỳ điều gì. Còn bố chồng, ông cho biết mình chỉ đưa ra gợi ý vì nhìn mọi người có vẻ đang buồn chán.

Vậy tóm lại, chẳng ai trong cả gia đình này thực sự muốn đi, vậy tại sao họ lại quyết định lên đường? Đó là một nghịch lý thực sự tồn tại theo lời giải thích của Harvey. Nghịch lý này có thể khiến chúng ta làm những việc trái với mong muốn của bản thân.

17. Nghịch lý sinh đôi

Đây là một trong những nghịch lý do thiên tài Albert Einstein đưa ra để giải thích Thuyết tương đối của ông. Theo đó, thời gian không phải là đại lượng bất biến, mà phụ thuộc vào góc nhìn và sự di chuyển của người quan sát.

Nền tảng của nghịch lý là câu chuyện về một cặp sinh đôi. 1 người là nhà du hành vũ trụ, di chuyển qua các thiên hà với tốc độ cực nhanh. Người còn lại ở Trái đất, trong vòng 20 năm.

Kết quả, người ở lại Trái đất sẽ lão hóa nhanh hơn vì hiện tượng giãn nở thời gian. Người anh em song sinh trên vũ trụ khi trở về sẽ trẻ hơn rất nhiều vì di chuyển với tốc độ nhanh, khiến thời gian đi theo cũng nhanh hơn. Điều này có nghĩa, thời gian chỉ là một đại lượng tương đối mà thôi.

18. Một số cách lý giải hiện đại

Theo như được kể lại, khi nghe những lý lẽ của Zeno thì triết gia Diogenes thành Sinope không nói gì cả, chỉ đứng dậy và bước đi nhằm chứng minh sự sai lầm của Zeno. Sau khi nghịch lý của ông ra đời, vô số giải pháp đã được đề xuất, mà những giải pháp đầu tiên trong đó đến từ các nhà khoa học vĩ đại Hy Lạp Aristotle và Archimedes. Sau đây, chúng ta sẽ chỉ xem xét phản biện nghịch lý của Zeno trong trường hợp phân đôi, trường hợp mang tính tổng quát cao hơn câu chuyện của Achilles và tương tự với trường hợp mũi tên bay.

Aristotle (384 TCN-322 TCN) nhận xét rằng, vì khoảng cách giảm dần nên thời gian cần thiết để thực hiện di chuyển những khoảng cách đó cũng giảm dần. Vì vậy, người ta chỉ mất một khoảng thời gian hữu hạn để di chuyển hết quãng đường đó, nên khẳng định (2) của Zeno – người ta mất vô hạn một khoảng thời gian để di chuyển bất cứ quãng đường hữu hạn nào – là vô lý. Sau đó, Archimedes đã xây dựng một phương pháp giải hữu hạn cho một vô hạn phần tử giảm dần, khi đó ta lập luận có vô số khoảng thời gian nhưng tổng thời lượng cần thiết dành cho sự di chuyển từ điểm này đến điểm kia lại là một số hữu hạn, do đó vẫn có thể thực hiện được chuyển động này.

Lập luận của Archimedes là nền tảng của cấp số nhân trong giải tích. Tuy vậy, phải đến hơn 20 thế kỷ sau, khi mà môn giải tích cùng với các khái niệm về giới hạn (đặc biệt là định nghĩa epsilon – delta của Weierstrass và Cauchy) được giải quyết hoàn toàn thì nghịch lý của Zeno mới được giải thích một cách thỏa đáng. Có thể khái quát nghịch lý phân đôi lại bằng cách chứng minh công thức sau:

S=1+1/2+1/4+1/8+...=2.

Trong đó, S là độ dài quãng đường từ nhà Homer đến công viên (xem như là 2), khi đó quãng đường sẽ được chia nhỏ thành một nửa quãng đường (độ dài tương ứng là 1), một phần tư quãng đường (độ dài 1/2), và cứ như vậy cho đến vô cùng.

Với những người đã có kiến thức về giải tích, có thể nhận thấy dãy số này là tổng các phần tử của một cấp số nhân lùi vô hạn $latex {S_{n - 1}} = 1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} = \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$, trong đó $latex q$ là công bội tương ứng $latex \frac{1}{2}$. $latex {u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}$ . Khi đó, ta có $latex \lim {q^n} = \lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0$ nên

$latex S = \frac{{1 - \lim {q^n}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2$.

Tuy vậy, sau đây chúng ta cũng sẽ nhìn nhận bài toán dưới góc độ thân thuộc hơn bằng phương pháp cho học sinh lớp 6:

$latex \begin{array}{l}
 S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...\\
 \Rightarrow 2S = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...\\
 \Rightarrow S = 2S - S = 2
 \end{array}$

Giải thích tương tự với thời gian, dù có chia nhỏ quãng đường ra thành vô hạn phần tử thì mỗi thời gian đi hết mỗi khoảng phần tử đều tỉ lệ thuận với độ dài quãng đường, và vì tổng độ dài các quãng đường ấy là một số hữu hạn, thời gian để Homer, Achilles hay An hoàn thành chuyến đi cũng đều là hữu hạn. Vì vậy, nếu sắp tới bạn có ý định dùng nghịch lý Zeno này để giải thích cho việc mình vào học trễ hay cúp học, hãy chắc chắn rằng giáo viên của bạn chưa học qua môn giải tích nhé :D

Hai bài toán trong nghịch lý Achilles và con rùa, khi bỏ qua những sự vô lý và trừu tượng của vô hạn – điều đã dẫn đến những nghịch lý Zeno – cũng đều có thể được giải quyết dễ dàng bằng kiến thức phổ thông. Phần này xin để dành cho các bạn độc giả thử sức chính mình

Giải thích nghịch lý Zeno dưới dạng hình vuông chia đôi vô hạn: dù có chia nhỏ hình vuông ra vô hạn lần thì tổng diện tích tất cả hình chia nhỏ cũng đều là một số hữu hạn và có thể chứng minh được bằng 1[/caption]

Đúng là tại thời điểm 3 nghịch lý trên ra đời, không một nhà bác học nào có thể lập luận phá giải sự ngược đời của chúng. Tuy nhiên, có vẻ Zeno đã tự tin thái quá khi đưa ra lời khẳng định 1.000 năm sau. Trên thực tế, chưa cần tới 1.000 năm thì cả 3 nghịch lý trên đã được giải đáp.

Cụ thể, chưa đầy 100 năm sau, Aristotle (384 – 322 TCN) đã phá giải 2 nghịch lý đầu tiên. Theo đó, ông nhận xét rằng vì khoảng cách giảm dần nên thời gian cần thiết để thực hiện di chuyển những khoảng cách đó cũng giảm dần. Vì thế mà tới một lúc nào đó, thời gian giảm đến 0 và Achiles sẽ bắt kịp chú rùa cũng như Zeno sẽ tới được công viên.

Thậm chí, ngày nay, một em bé lớp 5 cũng có thể giải được nghịch lý Zeno đưa ra. Thực tế, vận tốc của Achilles lớn hơn do đó sau một quãng thời gian nhất định, Achilles sẽ vượt xa chú rùa chứ chưa cần nói tới việc đuổi kịp.

Còn đối với nghịch lý "mũi tên bay", đáp án của nó cũng được tìm ra vào khoảng năm 1200. Và người giải được nghịch lý này là triết gia người Ý - Thomas Aquinas. Ông đã phản đối việc Zeno ngộ nhận rằng, thời gian bao gồm các khoảnh khắc, các điểm riêng biệt.

Mặt khác, trong không gian, xen giữa hai điểm cố định có vô hạn các điểm xen giữa. Do đó, việc hiểu chuyển động là sự chuyển tiếp vật từ điểm này tới điểm khác như trong nghịch lý là hoàn toàn vô căn cứ.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

• https://vi.wikipedia.org/wiki/Ngh%E1%BB%8Bch_l%C3%BD_Zeno
• https://www.youtube.com/watch?v  =EfqVnj-sgcc
• http://www.learn-math.info/vietnamese/historyDetail.htm?id=Zeno_of_Elea
• https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#AchTor
• Bộ sách “Niềm vui toán học” – Theoni Pappas